Maclaurin kaj putriĝo de iuj funkcioj

Studante progresinta matematiko devus konsideri ke la sumo de potencoserio en la intervalo de konverĝo de multaj el ni, estas kontinua kaj senlima nombro da fojoj diferencita funkcio. La demando: Ĉu eblas argumenti ke donita ajna funkcio f (x) - estas sumo de potencoserio? Tio estas, en kiaj kondiĉoj la f-tions f (x) povas esti prezentita per potencoserio? La graveco de ĉi tiu temo estas, ke eblas anstataŭigi proksimume £ Teologia f (x) estas la sumo de la unuaj kondiĉoj de potencoserio, ke estas polinomo. Tia anstataŭigo funkcio estas sufiĉe simpla esprimo - polinoma - estas oportuna kaj solvi iujn problemojn en analitiko, nome por solvi integraloj kiam kalkulanta diferencialaj ekvacioj , ktp ...

Oni pruvis, ke por iuj f-ii f (x), kie la derivaĵoj de la (n + 1) -a ordo povas esti kalkulita, inkluzive de la plej lasta en la najbareco de (α - R; x ₀ + R) de punkto x = α justa formulo estas:

Tiu formulo estas nomita laŭ la fama sciencisto Brooke Taylor. Kelkaj el kiuj devenas de la antaŭa, nomiĝas _Maclaurin_ serio:

Regulo, kiu ebligas produkti vastiĝo en _Maclaurin_ serio:

1. Determini derivaĵoj de la unua, dua, tria, ... ordo.
2. Kalkuli kio estas derivaĵoj je x = 0.
3. Rekorda _Maclaurin_ serio por ĉi tiu funkcio, kaj tiam determini la intervalo de convergencia.
4. Determini intervalo (-R; R), kie la postrestanta parto de formulo Maclaurin

R _n (x) -> 0 por n -> malfinio. Se unu ekzistas, ĝi funkcio f (x) devas esti egala al la sumo de la _Maclaurin_ serio.

Konsideru nun la _Maclaurin_ serio por la individuaj funkcioj.

1. Tiel, la unua por esti f (x) = e ^x. Kompreneble, ke iliaj karakterizaĵoj tiel f-Ia jam devenas diversajn ordonojn, kaj f ^{(k) (x)} = e ^x, kie k estas egala al ĉiuj la naturaj nombroj. Anstataŭaĵo x = 0. Ni akiri f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Bazita sur la suprajn celojn, kelkaj e ^x Estos tiel:

2. _Maclaurin_ serio por la funkcio f (x) = peko x. Tuj specifi ke f-tions por ĉiuj nekonataj derivaĵoj havos, krom f ^'(x) = cos x = sen (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = sen (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), kie k estas egala al ĉiu pozitiva entjero. Tio estas, farante simplajn kalkulojn, oni povas konkludi, ke la serio por f (x) = peko x estos tiel:

3. Nun ni konsideru iju f-f (x) = cos x. Ĝi estas nekonata por ĉiuj derivaĵoj de arbitra ordo, kaj ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Denove, ĝi farinte iuj ŝtonoj, oni trovas ke la serio por f (x) = cos x aspektos tiel ĉi:

Do, ni enlistigis la plej gravaj funkcioj kiuj povas esti vastigita en _Maclaurin_ serio, sed ili kompletigas la serio de Taylor por kelkaj funkcioj. Nun ni listigos ilin ankaŭ. Ĝi devus ankaŭ notu, ke Taylor serio kaj _Maclaurin_ serio estas grava parto de la laborejon serio de decidoj en pli alta matematiko. Do, serio de Taylor.

1. La unua estas serio de f-ii f (x) = ln (1 + x). Kiel en la antaŭaj ekzemploj, por tio ni f (x) = ln (1 + x) povas esti faldita nombro, uzante la ĝeneralan formon de Maclaurin serio. sed por tiu funkcio Maclaurin eblas akirita multe pli facila. Integrante geometria serio, ni ricevi kelkajn por f (x) = ln (1 + x) de la specimeno:

2. Kaj la dua, kiu estos definitiva en ĉi tiu artikolo, estos serio por f (x) = arctg x. Por x apartenas al la intervalo [-1, 1] validas malkomponaĵo:

Jen ĉio. En ĉi tiu artikolo mi rigardis la plej uzataj Taylor serio kaj _Maclaurin_ serio en pli alta matematiko, aparte en la ekonomia kaj teknika kolegioj.