Diferencialoj - kio estas tio? Kiel trovi la diferencialo de la funkcio?

Kune kun derivaĵoj ilia funkcioj diferencialoj - ĝi iuj el la bazaj konceptoj de la ŝtono diferencial, la ĉefa sekcio de matematika analizo. Kiel forte ligata, ambaux pluraj jarcentoj vaste uzata por solvi preskaŭ ĉiuj problemoj kiuj ŝprucis en la kurso de scienca kaj teknika agado.

La apero de la koncepto de diferencialaj

Unuafoje klarigis, ke tia diferenciala, unu el la fondintoj (kune kun Isaakom Nyutonom) diferenciala kalkulo fama germana matematikisto Gotfrid Vilgelm Leybnits. Antaŭe Matematikistoj 17-a jarcento. uzata tre neklara kaj malpreciza ideo de iu infinitezima "nedividita" de iu ajn konata funkcio, kiu reprezentas tre malgrandan konstanta valoro sed ne egala al nulo, sub kiu taksas la funkcio ne povas esti simple. Tial ĝi estis nur unu paŝo al la enkonduko de nocioj de infinitezima pliigoj de funkcio argumentoj kaj iliaj respektivaj pliigoj de la funkcioj kiuj povas esti esprimita en terminoj de derivitaj de la dua. Kaj tiu paŝo estis prenita preskaŭ samtempe la supre du grandajn sciencistoj.

Bazita sur la neceso trakti urĝan praktika mekaniko problemoj kiujn alfronti scienco rapide evoluantaj industrio kaj teknologio, Newton kaj Leibniz kreis la komunaj vojoj de trovi la funkcioj de la indico de ŝanĝo (precipe rilate al la mekanikaj rapido de la korpo de la konata trajektorion), kiu kondukis al la enkonduko de tiaj konceptoj, kiel la derivaĵo funkcio kaj la diferencial, kaj ankaŭ trovis la algoritmo inversa problemo solvoj kiel konata per si (variablo) rapidoj trairis por trovi la padon kiu kondukis al la koncepto de integralo Ala.

En la verkoj de Leibniz kaj Neŭtono ideo unua aspektis ke la diferenciales - estas proporcia al la pliigo de la bazaj argumentoj Δh pliigas Δu funkciojn kiuj povas esti sukcese aplikata por kalkuli la valoron de tiu lasta. Alivorte, ili malkovris ke pliigo funkcio povas esti en ajna punkto (ene de lia kampo de difino) estas esprimita tra ĝia derivaĵo ambaŭ Δu = y '(x) Δh + αΔh kie α Δh - cetero, inklinante nulo kiel Δh → 0, multe pli rapide ol la reala Δh.

Laŭ la fondintoj de matematika analizo, la diferenciales - tio estas ĝuste la unua termino en pliigoj de ajna funkcioj. Eĉ sen havi klare difinita limo koncepto sekvencoj estas komprenita intuicie, ke la diferencialaj valoro de la derivaĵo emas funkcii kiam Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).

Kontraste Neŭtono, kiu estis ĉefe fizikisto kaj matematika aparato konsiderita kiel helpa ilo por la studo de fizikaj problemoj, Leibniz pruntis pli atento al ĉi ilaro, inkluzive de sistemo de vidaj kaj komprenebla simboloj matematikaj valoroj. Estis li, kiu proponis la norma notacio de diferencialoj funkcio dy = y '(x) dx, dx, kaj la derivaĵo de la argumento funkcio kiel ilia rilato y' (x) = dy / dx.

La moderna difino

Kio estas la diferencialo en terminoj de moderna matematiko? Ĝi estas tre rilata al la koncepto de variablo pliigo. Se la variablo y prenas unuan valoron de y y = _1, tiam y = y _2, la diferenco y ₂ ─ y ₁ estas nomita la pliigo valoro y. La pliigo povas esti pozitiva. negativa kaj nulo. La vorto "pliigo" designa Δ, Δu registradon (legu 'delto y') signifas la valoron de la pliigo kaj. tiel Δu = y ₂ ─ y _1.

Se la valoro Δu arbitra funkcio y = f (x) povas esti prezentita kiel Δu = A Δh + α, kie A estas ne dependecon Δh, t. E. A = const por la donita x, kaj la termino α kiam Δh → 0 emas ĝi estas eĉ pli rapide ol la reala Δh, tiam la unua ( "majstro") termino proporcia Δh, kaj estas por y = f (x) diferencialaj, signifis dy aŭ df (x) (legita "y de", "de eff de X"). Sekve diferenciales - a "ĉefa" lineara rilate al la komponantoj de pliigoj Δh funkcioj.

mekanikaj klarigo

Lasu s = f (t) - la distanco laŭ rekta linio moviĝas materialo punkto de la komenca pozicio (t - tempo de vojaĝo). Pliigo Δs - estas la maniero punkto dum tempo intervalo Δt, la diferencialaj ds = f '(t) Δt - tiun vojon, kiu punkto estus tenita por samtempe Δt, se ĝi retenis la rapido f' (t), alvenis je tempo t . Kiam infinitezima Δt ds imagaj vojo diferencas de la reala Δs infinitezime havanta pli altan ordon rilate al Δt. Se la rapido tiutempe t estas ne egala al nulo, la proksimuma valoro ds donas malgranda emo punkto.

geometria lego

Lasu la linion L estas la grafikaĵo de y = f (x). Tiam Δ x = MQ, Δu = QM '(vidi. Figuro sube). Tangent MN rompas Δu tranĉita en du partoj, QN kaj NM '. Unua kaj Δh estas proporcia QN = MQ ∙ tg (angulo QMN) = Δh f '(x), t. E QN estas dy diferencial.

La dua parto de la diferenco Δu NM'daet ─ dy, kiam Δh → 0 NM longo 'malgrandiĝas eĉ pli rapide ol la pliigo de la argumento, te ĝi havas la ordon de pequeñez altaj ol Δh. En ĉi tiu kazo, se f '(x) ≠ 0 (ne-paralelaj tangento OX) segmentojn QM'i QN ekvivalenta; alivorte NM 'malpliigas rapide (ordo de amplekson de lia pli alta) ol la totala pliigo Δu = QM'. Tio estas evidenta en la Figuro (alproksimiĝas segmento M'k M NM'sostavlyaet ĉiuj plej malgrandaj procentoj QM 'segmento).

Do, grafike diferencialaj arbitra funkcio egalas la pliigo de la ordinato de la tangenta.

Derivaĵoj kaj diferencialaj

Faktoro en la unua termino de esprimo pliigo funkcio egalas la valoron de ĝia derivaĵo f '(x). Tiel, la sekva rilato - dy = f '(x) Δh aŭ df (x) = f' (x) Δh.

Ĝi scias ke la pliigo de la sendependa argumento estas egala al ĝia diferencialaj Δh = dx. Laŭe, ni povas skribi: f '(x) dx = dy.

Trovanta (foje laŭdire estas la "decido") diferencialoj estas farata per la samaj reguloj kiel por la derivaĵoj. Liston de ili ricevas malsupre.

Kio estas pli universala: la pliigo de la argumento aŭ lia diferencialaj

Jen ĝi estas necesa fari iujn klarigojn. Reprezento valoro f '(x) diferencialaj Δh ebla kiam konsiderante x kiel argumento. Sed la funkcio povas esti kompleksa, en kiu x povas esti funkcio de la argumento t. Tiam la reprezento de la diferencialaj esprimo de f '(x) Δh, ĝenerale, estas neeble; krom en la kazo de lineara dependeco x = ĉe + b.

Koncerne la formulo f '(x) dx = dy, do en la kazo de sendependa argumento x (tiam dx = Δh) en la kazo de la parametra dependeco de x t, estas diferencial.

Ekzemple, la esprimo 2 X Δh estas por y = x ² ĝia diferencialaj kiam x estas argumento. Ni nun x = t ² kaj supozi t argumento. Tiam y = x ² = t ^4.

Tio estas sekvita per (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Tial Δh = 2tΔt + Δt ^2. Tial: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Tiu esprimo ne estas proporcia al Δt, kaj tial estas nun 2xΔh ne diferencialaj. Ĝi troviĝas el la ekvacio y = x ² = t ^4. Estas egala dy = 4t ³ Δt.

Se ni prenas la esprimon 2xdx, estas la diferencialaj y = x ² por ajna argumento t. Efektive, kiam x = t ² akiri dx = 2tΔt.

Do 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. La esprimo diferencialoj gravurita de du malsamaj variabloj koincidi.

Anstataŭante pliigoj diferencialoj

Se f '(x) ≠ 0, tiam Δu kaj dy ekvivalenta (kiam Δh → 0); se f '(x) = 0 (signifo kaj dy = 0), ili ne estas ekvivalentaj.

Ekzemple, se y = x ^2, do Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² kaj dy = 2xΔh. Se x = 3, tiam ni havas Δu = 6Δh + Δh ² kaj dy = 6Δh kiuj estas ekvivalentaj pro Δh ² → 0 kiam x = 0 valoro Δu = Δh ² kaj dy = 0 ne estas ekvivalentaj.

Ĉi tiu fakto, kaj ankaŭ la simpla strukturo de la diferencialaj (m. E. La lineara rilate al Δh), estas ofte uzitaj en proksimuma kalkulado, sur la supozo ke Δu ≈ dy por malgrandaj Δh. Trovu la diferencialaj funkcio estas kutime pli facila ol por kalkuli la ĝusta valoro de la pliigo.

Ekzemple, ni havas metala kubo kun rando x = 10,00 cm. Sur varmigante la rando plilongiĝis sur Δh = 0,001 cm. Kiel pliigis volumo kubo V? Ni havas V = x ^2, tiel ke dV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ Februaro ¹⁰ 0/01 = 3 (cm ^3). Pliigita ΔV ekvivalenta diferencialaj dV, tiel ke ΔV = 3 cm ^3. Plena kalkulo donus ³ ΔV = 10,01 ─ Marto ¹⁰ = 3.003001. Sed la rezulto de ĉiuj ciferoj krom la unua nefidinda; tial, ĝi estas ankoraŭ necesa por rondigi ĝis 3 cm ^3.

Evidente, ĉi tiu alproksimiĝo estas utila nur se eblas taksi la valoron donata per eraro.

Diferenciala funkcio: ekzemploj

Ni provu trovi la diferencialo de la funkcio y = x ^3, trovi la derivaĵo. Ni donu la argumento pliigo Δu kaj difini.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Ĉi tie, la koeficiento A = 3x ² ne dependas Δh, tiel ke la unua termino estas proporcia Δh, la alia membro 3xΔh Δh ² + ³ kiam Δh → 0 malpliigas rapide ol la pliigo de la argumento. Sekve, membro de 3x ² Δh estas la diferencialo de y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² dx aŭ d (x ³⁾ = 3x ² dx.

En tio d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Ni nun trovi la funkcio y = 1 / x de la derivaĵo. Tiam d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Sekve dy = ─ Δh / x ^2.

Diferenciales bazaj algebraj funkcioj estas donitaj sube.

Proksimuma ŝtonojn uzante diferencialaj

Taksi la funkcio f (x), kaj ĝia derivaĵo f '(x) je x = a estas ofte malfacila, sed fari same en la najbareco de x = a ne estas facile. Tiam venis al la helpo de la proksimuma esprimo

f (a + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).

Tio donas proksimuman valoron de la funkcio je malgrandaj pliigoj tra lia diferencialaj Δh f '(a) Δh.

Sekve, ĉi tiu formulo donas proksimuman esprimon por la funkcio fine punkto de porcio de longo Δh kiel sumo de ĝia valoro je la komenca punkto de la parto (x = al) kaj la diferencialo en la sama punkto de partio. Precizeco de la metodo por determini la valorojn de la funkcio sube ilustras la desegnaĵo.

Tamen konataj kaj la ĝusta esprimo por la valoro de la funkcio x = a + Δh donita per formulo finia pliigoj (aŭ, alternative, de Lagrange formulo)

f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

kie la punkto x = a + ξ estas en la intervalo de x = a al x = a + Δh, kvankam lia preciza pozicio estas nekonata. La preciza formulo permesas taksi la eraron de la proksimuma formulo. Se ni metas en la Lagrange formulo ξ = Δh / 2, kvankam ĝi ĉesas esti preciza, sed donas, kiel regulo, estas multe pli bone alproksimiĝo ol la originala esprimo en terminoj de la diferencial.

Taksado formuloj eraro aplikante diferencialaj

Mezuranta instrumentojn , principe, malpreciza, kaj alportu al la mezurado respondaj datumoj al la eraron. Ili karakterizas por limigi la absolutan eraron, aŭ, mallonge, la limo eraro - pozitivaj, klare tre la eraron en absoluta valoro (aŭ maksimume egala al ĝi). Limigante la relativa eraro estas nomita la kvociento akiras dividante ĝin per la absoluta valoro de la mezurita valoro.

Lasu ĝusta formulo y = f (x) funkcio uzata por vychislyaeniya y, sed la valoro de x estas la mezurado rezulto, kaj pro tio alportas la y eraron. Tiam, trovi la limigi absoluta eraro │Δu│funktsii y, uzante la formulo

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

kie │Δh│yavlyaetsya marĝena eraro argumento. │Δu│ kvanto devas esti rondeta supren, kiel malpreciza kalkulo mem estas la anstataŭigo de la pliigo de la diferencialaj kalkulo.