Diferenciala kalkulo de funkcioj de unu kaj kelkaj variabloj

Diferenciala kalkulo estas branĉo de la matematika analizo, kiu ekzamenas la derivaĵo, diferencialoj kaj ilia uzo en la studo de funkcioj.

La historio de

Diferenciala kalkulo aperis kiel sendependa disciplino en la dua duono de la 17-a jarcento, danke al la laboro de Newton kaj Leibniz, kiu formulis la bazajn provizojn en la ŝtono de diferenciales kaj rimarkis la rilaton inter integriĝo kaj diferenciación. Ekde disciplino disvolvis kune kun la ŝtono de integraloj, tiel konstituante la bazo de la matematika analizo. La apero de ĉi tiuj kalkuloj malfermis novan modernan periodon en la matematika mondo kaj kaŭzis la aperon de novaj disciplinoj en la scienco. Ankaŭ etendis la eblecon apliki matematikon en la naturaj sciencoj kaj inĝenierio.

bazaj konceptoj

Diferenciala kalkulo estas bazita sur la fundamentaj konceptoj de matematiko. Estas: reela nombro, kontinueco kaj limo de funkcio. Post tempo, ili prenis modernan aspekton, danke al la integrala kaj diferenciala kalkulo.

La procezo de kreado

Formado de la ŝtono diferencial en la formo de apliko, kaj tiam la scienca metodo okazis antaŭ la apero de filozofia teorio, kiu estis kreita de Nikolay Kuzansky. Lia laboro estas konsiderita evolua evoluo de la antikva scienco de juĝo. Malgraŭ tio, ke la filozofo mem ne estis matematikisto, lia kontribuo al la disvolviĝo de matematika scienco estas innegable. Cusa, unu el la unuaj el la konsidero de aritmetiko kiel la plej preciza scienco, matematiko meti la tempon en demando.

En antikvaj matematikistoj universala kriterio estis unueco, dum la filozofo proponita kiel nova mezuro senfineco redoni la ĝusta nombro. Lige kun tiu renversita reprezento de precizeco en matematika scienco. Scienca scio, laŭ li, estas dividita en racia kaj inteligenta. La dua estas pli preciza, laŭ la sciencisto, ĉar la iama donas nur proksimuma rezultoj.

ideo

La baza ideo kaj la koncepto de diferenciala kalkulo asociita kun la funkcio en malgranda najbareco de certaj punktoj. Por ĉi tio oni devas krei matematika aparato por funkcii studoj kies konduto en malgranda najbareco de punktoj instalita proksime al la konduto de lineara funkcio aŭ polinomo. Bazita sur ĉi tiu difino de derivaĵo kaj diferencial.

La apero de la koncepto de la derivaĵo estis kaŭzita de granda nombro da problemoj de naturaj sciencoj kaj matematiko, kiuj kondukis al la persistemo de limo valoroj de la sama tipo.

Unu el la ĉefaj taskoj, kiuj estas donitaj kiel ekzemplo, komencante per la plej malnova lernejo klasoj, estas por determini la rapidon de movado de punkto en rekta linio kaj la konstruado de la tangenta linio al ĉi tiu kurbo. La diferencialaj ligita al tio, ĉar eblas aproksimi la funkcio en malgranda najbareco de la punkto de lineara funkcio.

Kompare kun la koncepto de derivaĵo de funkcio de reela variablo, la difino de diferencialoj simple pasas sur la funkcio de ĝenerala naturo, precipe la bildo de Eŭklida spaco al alia.

derivaĵo

Lasu la punkto moviĝas en la direkto de la y-akso, por la tempo ni prenas x, kiu estas mezurata de la komenco de momento. Priskribu tia movado eblas per la funkcio y = f (x), kiu estas asociita al ĉiu momento punkto x koordinato displaceable punkto. Tiu funkcio alvokon en mekaniko preni leĝo de moviĝo. La ĉefa karakterizaĵo de la movado, aparte neegala, estas la tuja rapideco. Kiam la punkto estas movita laŭ la y-akso laŭ la leĝo de mekaniko, la hazardaj tempo punkto akiras koordinato x f (x). En la tempo punkto x + Δh, kie Δh reprezentas la pliiĝo de tempo, ĝi estos kordinaty f (x + Δh). Tiel formis formulo Δy = f (x + Δh) - f (x), kiu nomiĝas pliigo funkcio. Estas punkto de la vojo trairita dum la tempo de x al x + Δh.

Kunlige kun la apero de la rapido al tempa derivaĵo estas administrita. La derivaĵo de ajna funkcio en fiksa punkto nomita la limo (supozante ĝi ekzistas). Ĝi povas raporti al certaj karakteroj:

f '(x), y', ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

La procezo de kalkulanta la derivaĵo de alvoko diferencialado.

Diferenciala kalkulo de funkcioj de pluraj variabloj

Ĉi tiu metodo estas aplikita kiam kalkulanta funkcio studo, pluraj variabloj. Kiam estas du variabloj x kaj y, la parta derivaĵo kun respekto al x je la punkto A estas nomita la derivaĵo de ĉi tiu funkcio en x kun fiksa y.

Povas esti indikita de la sekva simboloj:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / partial x kaj ∂f (x, y) '/ partial x.

Bezonata kapablojn

Por sukcese lerni kaj povi solvi diffury postulata kapabloj en integriĝo kaj diferenciación. Por plifaciligi kompreni la diferencialaj ekvacioj, devas esti komprenita temo derivaĵo kaj nedifinita integralo. Ankaŭ ne doloras lerni serĉi la derivaĵo de la implicita funkcio. Ĉi tio estas pro la fakto, ke en la procezo de lernado ofte uzas integraloj kaj diferenciación.

Tipoj de diferencialaj ekvacioj

Virtuale ĉiuj kontrolon laboro asociita kun la unua ordo diferencialaj ekvacioj, estas 3 tipoj de ekvacioj: homogena, kun apartigeblaj variabloj, lineara _inhomogeneous_.

Estas ankaŭ pli maloftaj specioj ekvacioj kun totala diferenciales, Bernoulli ekvacio, kaj aliaj.

fundamentoj solvoj

Por komenci, ni devas memori estas algebra ekvacio de lernejo kompreneble. Ili enhavas la variabloj kaj nombroj. Por solvi la konvencia ekvacio trovos multan nombroj kiuj kontentigas speciala kondiĉo. Tipe, ĉi tiuj ekvacioj havas unu radiko kaj por validigo devus nur anstataŭigi tiun valoron en loko nekonata.

La diferenciala ekvacio estas simila al tiu. Ĝenerale, ekvacio de la unua ordo konsistas el:

• Sendependa variablo.
• Derivita de la unua funkcio.
• Funkcio aŭ dependa variablo.

En iuj kazoj, povas esti neniu nekonata, x aŭ y, sed ĝi ne estas tiel grava kiel estas necese havi la unua derivaĵo, sen pli alta celo derivaĵoj por la solvo kaj la ŝtono diferencial, estis vera.

Solvu la diferencialan ekvacion - ĝi signifas trovi la aron de ĉiuj funkcioj kiuj estas taŭgaj donita esprimo. Tiaj aroj de funkcioj estas ofte nomita la ĝenerala solvo kontrolo.

integrala kalkulo

Integrala kalkulo estas unu el la sekcioj de matematika analizo, kiu ekzamenas la koncepton de integralo, proprietoj kaj metodoj de lia kalkulo.

Ofte la kalkulo de la integralo okazas kiam kalkulanta la areo de curvilínea formon. Per ĉi signifas limon areo, al kiu antaŭdeterminita areo de la enskribita plurlatero formon kun laŭgrada kresko en la mano, kaj la datumoj flanko estu malpli ol antaŭe specifita arbitra malgranda valoro.

La ĉefa ideo en la ŝtono de la areo de ajna geometria formo estas kalkulanta la areo de ortangulo, tiam ekzistas indico ke ĝia areo estas egala al la produkto de la longo de la larĝa. Kiam ĝi venas al la geometrio, tiam ĉiuj konstruoj estas faritaj uzante estro kaj kompaso, kaj tiam la rilatumo de longo al larĝo estas racia valoro. Kiam kalkulanta la areo de orta triangulo povas determini ke se vi metis apud triangulo, rektangulo estas formita. En la areo de la paralelogramo estas kalkulitaj en simila sed iomete pli komplika metodo, ene de rektangulo kaj triangulo. En la areo de plurlatero estas konsiderita de trianguloj inkluzivita en ĝi.

En determinanta la kompato de arbitra, tiu metodo ne konvenas la kurbo. Se ni rompos ĝin en individuaj kvadratoj, ĝi restas plenigotaj lokoj. En ĉi tiu kazo, provu uzi du tunikojn, kun rektanguloj supre kaj malsupre, rezulte de tiuj inkludas la grafikaĵo de la funkcio kaj ne inkluzivas. Gravaj tie estas maniero rompi tiujn ortanguloj. Ankaŭ, se ni prenas la paŭzo pli kaj pli reduktita, la areo de la pinto kaj fundo devus konverĝi sur certa valoro.

Ĝi devus reveni al metodo por disigi en ortanguloj. Ekzistas du popularaj metodoj.

Riemann estis formaligita difino de la integralo, kreita de Leibniz kaj Neŭtono, kiel la areo de subgrafeo. En ĉi tiu kazo, ni konsideras figuro kiu konsistas de certa nombro de vertikala rektangulo ricevita per dividanta la intervalo. Al la rompi malkresko estas limo al kiu la reduktita spaco de tia figuro, ĉi tiu limo estas nomata la rimana integralo de funkcio je specifita intervalo.

Dua metodo estas konstrui la Lebega integralo, kiu konsistas en tio, ke sur la loko de apartigo elektita areo sur parto de la integralato kaj kompilante tiam la integralo sumo de la valoroj akiritaj en tiuj partoj, al intertempoj dividita lia gamo de valoroj, kaj tiam resumis kun la responda aranĝojn inversa bildoj de ĉi tiuj integraloj.

modernaj helpiloj

Unu el la ĉefaj avantaĝoj de la studo de diferencialo kaj integrala kalkulo Fikhtengol'ts skribis - "de la diferencialo kaj integrala kalkulo." Lia lernolibro estas fundamenta ilo por la studo de matematika analizo, kiu rezistis multajn eldonojn kaj tradukojn en aliajn lingvojn. Kreita por studentoj kaj delonge uzata en diversaj edukaj institucioj kiel unu el la ĉefaj avantaĝoj de la studo. Ĝi donas teoriaj informoj kaj praktikaj kapabloj. Unue publikigita en 1948.

Algoritmo esploro funkcio

Esplori la metodojn de diferenciala kalkulo funkcio, vi devas sekvi jam donita algoritmo:

1. Trovu la domajno de la funkcio.
2. Trovu la radikoj de la donita ekvacio.
3. Kalkuli la ekstremoj. Por fari tion, ni kalkulas la derivaĵo kaj la punkto kie ĝi estas egala al nulo.
4. Ni anstataŭigi la valoro akirita en Eq.

Varioj de diferencialaj ekvacioj

Kontrolo de la unua ordo (alie, diferenciala kalkulo de unu variablo) kaj iliaj tipoj:

• Kun apartigebla variabloj ekvacio: f (y) dy = g (x) dx.
• La plej simpla ekvacio aŭ diferenciala kalkulo funkcio de unu variablo, havanta la formulo: y '= f (x).
• La lineara unua ordo _nonuniform_ kontrolo: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli diferenciala ekvacio: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Ekvacio entute diferencialoj kun: P (x, kaj) dx + Q (x, y) dy = 0.

La diferencialaj ekvacioj de dua ordo kaj iliaj tipoj:

• Homogena lineara dua ordo diferenciala ekvacio kun konstantaj ^{koeficientoj: y n + py '+ QY} = 0 p, q apartenas R.
• _inhomogeneous_ lineara dua ordo diferenciala ekvacio kun konstantaj koeficientoj ^{valoro: y n + py '+ QY} = f (x).
• Homogena lineara diferenciala ^{ekvacio: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, kaj _inhomogeneous_ dua ordo ^{ekvacio: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

Diferencialaj ekvacioj de pli altaj ordoj kaj iliaj tipoj:

• La diferenciala ekvacio, permesante redukton de la ^{ordo: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• Lineara ekvacio de pli alta ordo ^{_{homogenaj: y (n) + f (}} n- ₁₎ kaj ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, kaj ^{_{_inhomogeneous_: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Etapoj de solvi la problemon kun la diferenciala ekvacio

Kun la helpo de la kontrolo remoto estas solvitaj ne nur matematiko aŭ fizikaj problemoj, sed ankaŭ la diversaj problemoj de biologio, ekonomiko, sociologio kaj aliaj. Malgraŭ la vasta gamo de temoj, devus sekvi sola logiko sekvenco por solvi tiujn problemojn;

1. Strekante kontrolo. Unu el la plej malfacilaj stadioj, kiu postulas maksimuman precizecon, ĉar ajna eraro kondukos al tute erara rezultojn. Estas necese konsideri ĉiuj faktoroj influanta la procezo kaj determini komencajn kondiĉojn. Ĝi devus ankaŭ esti bazita sur faktoj kaj logika konkludoj.
2. Por solvi ekvacioj. Tiu procezo estas pli facile al la unua punkto, ĉar ĝi postulas nur strikta efektivigo de matematikaj ŝtonoj.
3. Analizo kaj taksado de la rezultoj. Derivita solvo devus esti taksita por la instalado de praktika kaj teoria valoro de la rezulto.

Ekzemplo de la uzo de diferencialaj ekvacioj en medicino

Uzante la komandon al distanco en la kampo de medicino troviĝas en la konstruo de epidemiologiaj matematika modelo. Ni ne forgesas ke ĉi tiuj ekvacioj estas ankaŭ trovita en biologio kaj kemio, kiuj estas proksime al la medicino, ĉar ĝi ludas gravan rolon la studo de malsamaj biologiaj loĝantaroj kaj kemiaj procezoj en la homa korpo.

En ĉi tiu ekzemplo, la epidemio disvastiĝis de infekto povas esti traktita en izolita komunumo. La loĝantoj estas dividitaj en tri tipoj:

• Infected, la nombro de x (t), kiu konsistis el individuoj, infektaj portantoj, ĉiu el kiuj estas infektaj (kovoperiodo estas mallonga).
• La dua tipo inkludas impresebla individuoj y (t), povas esti infektitaj de kontakto kun infektita.
• La tria tipo inkludas obstinaj individuoj z (t), kiuj estas imunaj aŭ perdis pro malsano.

Nombro de individuoj konstante, konservante naskiĝo, naturaj mortoj kaj migrado ne estas konsiderata. Ĉe la kerno estos du hipotezojn.

Procento malsano iam punkto estas egala al x (t) y (t) (bazita supozo sur la teorio ke la nombro de kazoj proporcie al la nombro de intersekcoj inter pacientoj kaj respondema membroj, kiu en unua alproksimiĝo estas proporcia al x (t) y (t)), en tial la nombro de kazoj pliiĝas, kaj la nombro de susceptibles malpliiĝas je kurzo kiu estas kalkulita per la formulo hakilo (t) y (t) (a> 0).

Nombro de ne-respondantoj bestoj, kiuj mortis aŭ akirita imuneco, pliigis al ritmo kiu estas proporcia al la nombro de kazoj, bx (t) (b> 0).

Rezulte, vi povas agordi sistemon de ekvacioj kun ĉiuj tri indikiloj surbaze de liaj konkludoj.

EKZEMPLO uzo ekonomiko

Diferenciala kalkulo estas ofte uzita en ekonomia analizo. La ĉefa tasko de la ekonomia analizo estas konsiderita esti la studo de la valoroj de la ekonomio, kiu estas priskribita en la formo de la funkcio. Ĝi estas uzata por solvi problemojn kiel ekzemple ŝanĝoj en enspezo impostplialtigoj tuj post, eniro kotizoj, ŝanĝoj en enspezoj al la ŝanĝi la valoron de la produkto, en kio proporcio eblas anstataŭita de emerita oficistoj kun nova teamo. Por solvi tiajn problemojn, tio estas bezonata por konstrui komunikadon funkcio de la alvenanta variabloj, kiuj, post studita de diferenciala kalkulo.

En la ekonomia sfero, ofte oni devas trovi la plej optimumajn indikilojn: maksimuma laborema produktado, plej alta enspezo, plej malaltaj kostoj, kaj tiel plu. Ĉiu tia indikilo estas funkcio de unu aŭ pli da argumentoj. Ekzemple, produktado povas esti konsiderita kiel funkcio de la eksplodoj de laboro kaj kapitalo. Ĉi-rilate, trovante taŭgan valoron povas esti reduktita al trovado de la maksimumo aŭ minimumo de funkcio de unu aŭ pli variabloj.

Tiaj problemoj kreas klason de ekstremaj problemoj en la ekonomia kampo, por kiu necesas diferenciala kalkulo. Kiam la ekonomia indikilo devas esti minimumigita aŭ maksimumigita kiel funkcio de alia indikilo, tiam ĉe la maksimuma punkto la proporcio de la pliigo de la funkcio al la argumentoj tendencas nulon se la pliigo de la argumento inklinas nulon. Alie, kiam tia sinteno inklinas iun pozitivan aŭ negativan valoron, la precizigita punkto ne taŭgas, ĉar kun kreskanta aŭ malpliiĝanta argumento eblas ŝanĝi la dependan valoron en la necesa direkto. En la terminologio de la diferenciala kalkulo tio signifas, ke la postulita kondiĉo por la maksimumo de la funkcio estas la nula valoro de ĝia derivaĵo.

En la ekonomio ofte estas problemoj trovi ekstremon de funkcio kun pluraj variabloj, ĉar la ekonomiaj indikiloj konsistas el multaj faktoroj. Similaj demandoj estas bone studitaj en la teorio de funkcioj de pluraj variabloj kiuj aplikas metodojn de diferencia komputado. Tiaj taskoj inkludas ne nur maksimumigitajn kaj minimizajn funkciojn, sed ankaŭ limojn. Similaj demandoj apartenas al matematika programado, kaj ili solvas kun helpo de speciale evoluintaj metodoj, ankaŭ bazitaj sur ĉi tiu sekcio de scienco.

Inter la metodoj de diferenciala kalkulo uzata en ekonomiko, grava sekcio estas la marĝa analizo. En la ekonomia sfero, ĉi tiu termino rilatas al aro de metodoj por studi diversajn indikilojn kaj rezultojn, kiam ili ŝanĝas la volumojn de kreado kaj konsumo, laŭ analizo de siaj limoj. La limiga indekso estas la derivaĵoj aŭ partaj derivaĵoj kun pluraj variabloj.

La diferenciala kalkulo de pluraj variabloj estas grava temo de la kampo de matematika analizo. Por detala studo oni povas uzi diversajn instruadajn helpojn por altaj edukaj institucioj. Unu el la plej famaj kreitaj Fichtenholz - "La kurso de diferenciala kaj integrala kalkulo". Kiel estas preterlasas de la titolo, la kapabloj en laborado kun integraloj estas konsiderindaj grave por solvi diferencialajn ekvaciojn. Kiam la diferenciala kalkulo de funkcio de unu variablo okazas, la solvo fariĝas pli simpla. Kvankam oni devas rimarki, ĝi obeas la samajn bazajn regulojn. Por praktiki la funkcion en la diferenciala kalkulo, sufiĉas sekvi la jam havebla algoritmo, kiu estas donita en la supraj gradoj de la lernejo kaj estas nur iomete komplika kiam novaj variabloj estas eniritaj.