Sistemo de linearaj algebraj ekvacioj. Homogena sistemo de linearaj algebraj ekvacioj

En la lernejo, ĉiu el ni studis la ekvacion kaj, certe, la sistemo de ekvacioj. Sed malmultaj scias, ke estas pluraj manieroj por solvi ilin. Hodiaŭ ni vidos ekzakte ĉiujn metodojn solvi sistemo de linearaj algebraj ekvacioj, kiu konsistas el pli ol du ekvacioj.

rakonto

Hodiaŭ ni scias, ke la arto de solvi ekvacioj kaj iliaj sistemoj originis en antikva Babilono kaj Egiptio. Tamen, egaleco en ilia familiara formo aperis al ni post la apero de la egala signo "=", kiu estis prezentita en 1556 fare de angla matematikisto rekordon. Parenteze, ĉi tiu simbolo estis elektita por kialo: ĝi signifas du paralelaj egalaj segmentoj. Efektive, la plej bona ekzemplo de egaleco ne venas supren.

La fondinto de la moderna literoj kaj simboloj de nekonata punkto, la franca matematikisto Fransua Viet. Tamen, lia designación estas signife malsamaj de hodiaŭ. Ekzemple, kvadrata de nekonata nombro li designado por la litero Q (lat "quadratus".), Kaj la kubo - la litero C (lat "Cubus".). Tiuj simboloj nun ŝajnas malkomforta, sed tiam ĝi estis la plej intuicia maniero skribi sistemon de linearaj algebraj ekvacioj.

Tamen, malavantaĝo en la reganta metodoj de solvo estis, ke matematikistoj konsideras nur la pozitivaj radikoj. Eble ĉi tio estas pro la fakto, ke negativaj valoroj ne havas praktikan aplikon. Unu maniero aŭ alia, sed la unua por esti konsiderita negativa radikoj komenciĝis post la Itala matematiko Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano kaj Raphael Bombelli en la 16-a jarcento. Moderna rigardo, la ĉefa metodo de solvi kvadrataj ekvacioj (tra diskriminanto) estis establita nur en la 17-a jarcento tra la verkoj de Descartes kaj Newton.

Meze de la 18-a jarcento la svisa matematikisto Gabriel Cramer trovis novan manieron por fari la solvo de sistemoj de linearaj ekvacioj pli facila. Tiu metodo estis poste nomita laŭ li, kaj por tiu tago ni uzas ĝin. Sed sur la metodo de Kramer babilas iom poste, sed por nun ni diskutos linearaj ekvacioj kaj iliaj solvoj aparte de la sistemo.

linearaj ekvacioj

Linearaj ekvacioj - la plej simpla ekvacio kun variablo (j). Ili apartenas al la algebra. Linearaj ekvacioj skribita en la ĝenerala formo jene: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... kaj _n * x _n = b. Submetiĝo de tiu formo ni bezonas en la preparado de sistemoj kaj matricoj plu.

Sistemo de linearaj algebraj ekvacioj

La difino de tiu termino estas: aro de ekvacioj kiuj havas komunan misteroj kaj la ĝenerala solvo. Tipe, en la lernejo ĉiu solvita sistemon kun du aŭ eĉ tri ekvacioj. Sed ekzistas sistemoj kun kvar aŭ pli da eroj. Vidu unuan kiel skribi ilin malsupren por ke poste ĝi estis konvena por solvi. Unue, la sistemo de linearaj algebraj ekvacioj aspektos pli bone se ĉiuj variabloj estas skribitaj kiel x kun la responda indekso: 1,2,3 ktp. Due, ĝi devus konduki ĉiuj ekvacioj al la kanona formo: ĉirkaŭ ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... kaj _n * x _n = b.

Post ĉiuj ĉi tiuj paŝoj, ni povas komenci por diri al vi kiel trovi la solvon de sistemoj de linearaj ekvacioj. Tre multe por tiu eniros oportunan matrico.

matrico

Matrix - tablo kiu konsistas vicoj kaj kolumnoj, kaj ĝia elementoj estas je ilia komunaĵo. Tio povas esti aŭ specifa valoro aŭ variablo. Plejofte, designar elementoj kiuj estas aranĝitaj sub la subaj indicoj (ekz, la ₁₁ aŭ _23an bone). La unua indekso indikas la vicon nombro, kaj la dua - la kolumno. Super matricoj kiel supre kaj alia matematika elemento povas elfari diversajn operaciojn. Tiel, vi povas:

1) Subtrahi kaj aldoni la sama grandeco de la tablo.

2) Multipliku la matrico al ajna nombro aŭ vektoro.

3) Transponi: konverto matrico linioj en la kolumnoj kaj la kolumnoj - en linio.

4) Multipliku la matrico, se la nombro de vicoj egalas unu el ili malsama nombro da kolumnoj.

Diskuti detale ĉiuj tiuj teknikoj, kiel ili estas utilaj al ni en la estonteco. Subtraho kaj aldono de matricoj estas tre simpla. Ĉar ni prenas same granda matrico, ĉiu elemento de unu tablo estas rilatita al ĉiu alia elemento. Tiel ni aldonas (subtrahi) du el tiuj elementoj (estas grave, ke ili staras sur la sama grundo en sia matricoj). Kiam multiplikita per la nombro de matrico aŭ vektoro vi simple multobligi ĉiu elemento de la matrico de tiu nombro (aŭ vektoro). Transpono - tre interesa procezo. Tre interesa foje viziti lin en vera vivo, ekzemple, al la ŝanĝi la orientiĝon de tableta aŭ telefono. La ikonoj sur la labortablo estas matrico, kaj kun ŝanĝo de pozicio, oni transponita kaj iĝas pli larĝa, sed malpliigas en alteco.

Ni rigardu pli procezo kiel matrica multipliko. Kvankam li diris al ni, kaj ne estas utila, sed sciu, ĝi estas ankoraŭ utila. Multipliki du matricoj povas esti nur sub la kondiĉo, ke la nombro de kolumnoj en unu tabelo egalas la nombro de vicoj alia. Nun prenu unu matrico linio elementoj kaj aliaj elementoj de la responda kolumno. Multigos ilin unu al la alia kaj poste sumo (tio, ekzemple, produkto de elementoj ₁₁ kaj ₁₂ kaj ĉe ₁₂ b kaj ₂₂ b estos egala al: a * b _{11 12} + ₁₂ * b kaj _22). Tiel, sola tablo elemento, kaj simila metodo al ĝi estas plena plu.

Nun ni povas komenci konsideri kiel solvi sistemojn de linearaj ekvacioj.

Gaŭso

Tiu temo komencis okazi en la lernejo. Ni scias tre bone la koncepton de "sistemo de du linearaj ekvacioj" kaj scias kiel solvi ilin. Sed kion se la nombro de ekvacioj estas pli granda ol du? Tiu helpos nin Gaŭso metodo.

Kompreneble, ĉi tiu metodo estas oportuna al uzi, se vi faras matrico de la sistemo. Sed vi ne povas konverti ĝin kaj decidi pri sia propra.

Do, kiel solvi ĝin per sistemo de linearaj ekvacioj Gaŭso? Parenteze, eĉ se tiu metodo kaj nomita laŭ li, sed eltrovis ĝin en antikvaj tempoj. Gaŭso havas operacion efektivigis kun la ekvacioj, por eventuale rezultigas la totalon al ŝtupon formon. Tio estas, vi devas supro-malsupren (se ĝuste meti) de la unua ĝis la lasta ekvacio malkreskis unu nekonata. Alivorte, ni devas certigi, ke ni havas, diru, tri ekvacioj: la unua - tri misteroj, en la dua - du en la tria - unu. Tiam, de la lasta ekvacio, ni trovas la unuan nekonata, anstataŭigi ĝia valoro en la dua aŭ la unua ekvacio, kaj plu trovos la ceteraj du variabloj.

Cramer regulo

Por la disvolviĝo de ĉi tiu tekniko estas esenca por majstri la kapablojn de adicio, subtraho de matricoj, kaj ankaŭ la bezono por povi trovi determinantes. Sekve, se vi estas malkomforta faras tion ĉiuj aŭ ne scias kiel, ĝi estas necesa por lerni kaj esti trejnita.

Kio estas la esenco de ĉi tiu metodo, kaj kiel tion fari, por ricevi sistemon de linearaj ekvacioj Cramer? Ĝi estas tre simpla. Ni devas konstrui matricon de nombroj (preskaŭ ĉiam) la koeficientoj de sistemo de linearaj algebraj ekvacioj. Por fari tion, simple faru registron de la nekonata, kaj ni aranĝi tablon en la ordo kiun ili estis enskribitaj en la sistemo. Se antaŭ la nombro estas signo "-", tiam ni skribi negativajn koeficiento. Do, ni faris la unuan matrico de la koeficientoj de la misteroj, ne inkluzive de la nombro post la egalsigno (kompreneble, ke la ekvacio devas esti reduktita al la kanona formo kiam dekstre estas nur nombro, kaj maldekstre - ĉiuj misteroj kun koeficientoj). Tiam vi devas fari kelkajn matricoj - unu por ĉiu variablo. Por tiu celo, en la unua matrico estas anstataŭita de unu kolumno ĉiu kolumno nombroj kun la koeficientoj post la egala signo. Tiel ni akiras kelkaj matricoj kaj tiam trovi sian determinantes.

Post ni trovis la kvalifikiĝintoj, ĝi estas malgranda. Ni havas komencan matrico, kaj estas pluraj derivita matricoj, kiuj respondas al malsamaj variabloj. Por ricevi sistemon solvo, ni dividu la determinanto de la rezultanta tablo sur la primara determinanto de la tablo. La rezulta nombro estas la valoro de unu variablo. Simile, ni trovas ĉiujn misteroj.

aliaj metodoj

Estas pluraj metodoj por akiri la solvon de sistemoj de linearaj ekvacioj. Ekzemple, tiel nomata Gaŭso-Jordan metodo, kiu estas uzata por trovi solvojn de la sistemo de kvadrataj ekvacioj, kaj ankaŭ rilatas al la uzo de matricoj. Ankaŭ ekzistas Jacobi metodo por solvi sistemo de linearaj algebraj ekvacioj. Li facile adaptiĝas al ĉiuj komputiloj kaj estas uzita en komputado.

komplikaj kazoj

Komplekseco kutime okazas se la nombro de ekvacioj estas malpli ol la nombro de variabloj. Tiam ni povas certe diri, ke, aŭ la sistemo estas nekonsekvenca (kio estas, ne radikoj), aŭ la numeron de ĝia decidoj strebas al malfinio. Se ni havas la duan kazon - ĝi estas necesa por skribi la ĝenerala solvo de la sistemo de linearaj ekvacioj. Ĝi inkluzivos almenaŭ unu variablo.

konkludo

Ĉi tie ni venas al la fino. Resume: ni devas kompreni kion la sistemo matrico, lernis trovi la ĝenerala solvo de sistemo de linearaj ekvacioj. Krome ni konsideras aliajn eblojn. Ni eltrovis kiel solvi sistemojn de linearaj ekvacioj: Gaŭsa elimino kaj Cramer la regulo. Ni parolis pri malfacilaj kazoj kaj aliaj manieroj de trovi solvojn.

Fakte, ĉi tiu temo estas multe pli vasta, kaj se vi volas pli bone kompreni ĝin, ni konsilas al vi legi pli de la faka literaturo.