Lineara kaj homogena diferenciala ekvacio de la unua ordo. ekzemploj de solvoj

Mi kredas ke ni devus komenci per la historio de la glora matematika ilo kiel diferencialaj ekvacioj. Kiel ĉiuj diferencialo kaj integrala kalkulo, tiuj ekvacioj estis inventita de Neŭtono en la malfrua 17-a jarcento. Li kredis estis lia malkovro tiel grava, ke eĉ la ĉifrita mesaĝo, kiu hodiaŭ povas traduki tiel: "Ĉiuj la leĝoj de la naturo priskribitaj de diferencialaj ekvacioj." Eble ŝajnas troigo, sed estas vera. Ajna leĝo de fiziko, kemio, biologio, povas esti priskribita per tiuj ekvacioj.

Enorma kontribuo al la disvolviĝo kaj kreo de la teorio de diferencialaj ekvacioj havas matematikon de Euler kaj Lagrange. Jam en la 18-a jarcento oni malkovris kaj evoluigis kio nun studas ĉe la supera universitato kursoj.

Nova mejloŝtono en la studo de diferencialaj ekvacioj komencis danke al Anri Puankare. Li kreis "kvalita teorio de diferencialaj ekvacioj", kiu, kombinita kun la teorio de funkcioj de kompleksaj variabloj kontribuis signife al la fondo de topologio - la scienco de spaco kaj liaj proprietoj.

Kio estas diferencialaj ekvacioj?

Multaj homoj timas la frazo "diferenciala ekvacio". Tamen, en ĉi tiu artikolo ni ekiris detale la esencon de tiu ĉi tre utila matematika ilo kiu fakte ne estas tiom komplika kiel ŝajnas el la titolo. Por komenci paroli pri la unua ordo diferenciala ekvacio, vi devas unue konatiĝi kun la bazaj konceptoj, kiuj estas esence asociita kun ĉi tiu difino. Kaj ni komencos kun la diferencial.

diferencialaj

Multaj homoj scias ĉi termino de la malĉefa. Tamen, ankoraŭ loĝas sur ĝi en detalo. Imagu la grafikaĵo de la funkcio. Ni povas pliigi ĝin al tia punkto kiu iu el lia segmento iĝas rekta linio. Ĝi prenos du punktoj kiuj estas senfine proksime al unu la alian. La diferenco inter iliaj koordinatoj (x aŭ y) estas infinitezimo. Kaj oni nomas diferencialaj kaj karakteroj designar dy (diferencialo de y) kaj dx (la diferencialo de x). Gravas kompreni, ke la diferencialaj ne estas la fina valoro, kaj tio ĉi estas la signifo kaj la ĉefa funkcio.

Kaj nun vi devas konsideri la sekvajn elementojn, kiujn ni bezonas klarigi la diferenciala ekvacio koncepto. Ĝi - derivaĵo.

derivaĵo

Ni ĉiuj devas aŭdis en la lernejo kaj ĉi nocio. Ili diras ke la derivaĵo - estas la indico de kresko aŭ malpliigo de la funkcio. Tamen, ĉi tiu difino iĝas pli konfuza. Ni provas klarigi la derivaĵo laŭ la diferenciales. Ni reiru al la infinitezima intervalo funkcio kun du punktoj, kiuj estas lokitaj ĉe minimumo distanco unu de la alia. Sed eĉ preter tiu distanco funkcio estas tempo por ŝanĝi al iu valoro. Kaj por priskribi tiu ŝanĝo kaj elpensi derivita kiuj alie esti skribita kiel la rilatumo de la diferenciales: f (x) '= df / dx.

Nun oni devas konsideri la bazaj propraĵoj de la derivaĵo. Estas nur tri:

1. Derivaĵoj sumo aŭ la diferenco povas esti prezentita kiel sumo aŭ diferenco de la derivitaj: (a + b) '= a' + b ', kaj (ab)' = a'-b '.
2. La dua posedaĵo estas konektita kun multipliko. Derivaĵoj - estas sumo de la verkoj de unu funkcio al alia derivaĵo: (a * b) '= a' * b + a * b '.
3. La derivaĵo de la diferenco povas esti skribita kiel la sekva ekvacio: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b ^2.

Ĉiuj tiuj trajtoj veni en oportuna por trovi solvojn al diferencialaj ekvacioj de la unua ordo.

Ankaŭ, estas partaj derivaĵoj. Supozu ke ni havas funkcio de la z, kiu dependas de la variabloj x kaj y. Kalkuli la parta derivaĵo de ĉi tiu funkcio, ekzemple, en x, ni devas preni la variablo y por konstanta kaj facile diferenci.

integralo

Alia grava koncepto - integralo. Fakte ĝi estas la malo de derivaĵo. Integraloj Estas pluraj tipoj, sed la plej simpla solvoj de diferencialaj ekvacioj, ni bezonas la plej bagatela nedifinita integraloj.

Do, kio estas la integralo? Supozu ke ni havas iun rilaton f de x. Ni prenos el ĝi la integralo kaj akiri funkcio F (x) (ĝi estas ofte referita kiel primitiva), kiu estas derivita de la originala funkcio. Sekve F (x) '= f (x). Tiu ankaŭ implicas ke la integralo de la derivaĵo egalas al la originala funkcio.

En solvi diferencialaj ekvacioj estas tre grava por kompreni la signifon kaj funkcion de la integralo, ĉar tre ofte devas preni ilin trovi solvojn.

La ekvacioj estas malsamaj depende de ilia naturo. En la sekva sekcio Ni rigardos tipoj de unua ordo diferencialaj ekvacioj, kaj tiam lerni kiel solvi ilin.

Klasoj de diferencialaj ekvacioj

"Diffury" dividita per la ordo de derivitaj implikita en ili. Tiel estas unua, dua, tria aŭ pli ordo. Ili povas ankaŭ esti dividita en pluraj klasoj: ordinara kaj partaj.

En ĉi tiu artikolo, ni konsideros la ordinaraj diferencialaj ekvacioj de la unua ordo. Ekzemploj kaj solvoj ni diskutas en la sekvaj sekcioj. Ni konsideras nur la TAC ĉar ĝi estas la plej komunaj tipoj de ekvacioj. Ordinara dividita en subspecioj: kun apartigeblaj variabloj, homogena kaj heterogena. Sekva vi lernos kiel ili diferencas inter si, kaj lerni kiel solvi ilin.

Krome, ĉi tiuj ekvacioj povas esti kombinitaj, tiel ke post kiam ni akiras sistemon de diferencialaj ekvacioj de la unua ordo. Tiaj sistemoj, ni ankaŭ rigardi kaj lerni kiel solvi.

Kial ni konsideras nur la unuan ordon? Ĉar ĝi estas necesa por komenci kun simpla kaj priskribi ĉiuj asociita kun diferencialaj ekvacioj, en ununura artikolo estas neeble.

Ekvacioj kun apartigeblaj variabloj

Ĉi tiu estas eble la plej simpla unuan ordon diferencialaj ekvacioj. Ĉi tiuj estas ekzemploj kiuj povas esti skribita kiel: y '= f (x) * f (y). Por solvi tiun ekvacion ni bezonas la reprezento formulo de la derivaĵo kiel la rilatumo de la diferenciales: y '= dy / dx. Kun ĝi ni ricevi la ekvacio: dy / dx = f (x) * f (y). Nun ni povas turni al la metodo de solvi normo ekzemploj: apartigi la variabloj en partoj, tio rapide antaŭen ĉiuj la variablo y en la parto kie estas dy, kaj ankaŭ faras la variablo x ... Ni akiri ekvacio de la formo: dy / f (y) = f (x) dx, kiu estas atingita per prenante la integraloj de la du partoj. Ne forgesu pri la konstanta kiun vi volas meti post integriĝo.

La solvo de iu ajn "diffura" - estas funkcio de x per y (en nia kazo), aŭ se estas nombra kondiĉo, la respondo estas kelkaj. Ni rigardu konkretan ekzemplon la tutan kurson de la decido:

y '= 2y * sin (x)

Transfer la variabloj diversdirekten;

dy / y = 2 * sin (x) dx

Nun prenu la integraloj. Ĉiuj ili troviĝas en speciala tablo de integraloj. Kaj ni akiras:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Se necesa, ni povas esprimi la "y" kiel funkcio de "X". Nun ni povas diri, ke nia diferenciala ekvacio estas solvita, se ne specifita kondiĉo. Povas esti precizigita kondiĉo, ekzemple, y (n / 2) = e. Tiam ni simple anstataŭigi la valoron de ĉi tiuj variabloj en la decido kaj trovi la valoro de la konstanta. En nia ekzemplo, estas 1.

Homogena unuan ordon diferencialaj ekvacioj

Nun al la pli kompleksaj partoj. Homogena unuan ordon diferencialaj ekvacioj povas esti skribita en ĝenerala formo kiel: y '= z (x, kaj). Ni notu, ke la dekstra funkcio de du variabloj estas unuforma, kaj ĝi ne povas esti dividita en du depende: z x kaj z de y. Kontrolu, ĉu la ekvacio estas homogena aŭ ne, estas sufiĉe simpla: ni faras la anstataŭo x = k * x kaj y = k * y. Nun ni tranĉis ĉiu k. Se tiuj leteroj estas ĵetitaj, tiam la ekvacio homogena kaj povas sekure procedi al lia solvo. Rigardante antaŭen, ni diras: la principo de la solvo de ĉi tiuj ekzemploj estas ankaŭ tre simpla.

Ni devas fari la anstataŭigo: y = t (x) * x, kie t - funkcio kiu ankaŭ dependas de x. Tiam ni povas esprimi la derivaĵo: y '= t' (x) * x + t. Anstataŭiganta ĉiuj ĉi en nian originalan ekvacio kaj simpligante ĝin, ni havas la ekzemplon de la apartigo de variabloj t kiel x. Solvu ĝin kaj akiri la dependeco de t (x). Kiam ni havas ĝin, simple anstataŭigi nian antaŭa anstataŭigo y = t (x) * x. Tiam ni ricevi la dependecon de y sur x.

Por fari ĝin pli klara, ni komprenos ekzemplo: x * y '= yx * e y / x.

Kiam kontrolanta la anstataŭigo de ĉiuj malaltiĝas. Do, la ekvacio estas vere homogena. Nun faru alian anstataŭigo, ni parolis: y = t (x) * x kaj y '= t' (x) * x + t (x). Post simpligo la sekva ekvacio: t '(x) * x = -e t. Ni decidos akiri specimeno kun apartaj variabloj kaj ni ^{preni: e -t = ln (C *} x). Ni nur bezonas anstataŭi t de y / x (ĉar se y = t * x, do t = y / x), kaj ni ricevos la ^{respondon: e -y / x = ln (} x * C).

Lineara diferenciala ekvacio de unua ordo

Estas tempo por konsideri alian larĝa temo. Ni rigardos heterogenaj unua ordo diferencialaj ekvacioj. Kiel ili diferencas de la antaŭaj du? Ni alfronti ĝin. Lineara unua celo diferencialaj ekvacioj en la ĝenerala formo de la ekvacio povas esti skribita tiel: y '+ g (x) * y = z (x). Ĝi devus klarigi ke z (x) kaj g (x) povas esti konstanta valorojn.

Jen ekzemplo: y '- y * x = x ^2.

Ekzistas du manieroj por solvi, kaj ni ordigi Ni rigardu ambaux. La unua - la metodo de variado de arbitra konstantoj.

Por solvi la ekvacion tiamaniere, necesas egaligi la unua dekstra flanko al nulo, kaj solvi la rezultanta ekvacio kiu post la kopio de partoj iĝas:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x 2/2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Nun estas necese anstataŭi la konstanto C ₁ sur la funkcio v (x), kiun ni trovos.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Desegnu anstataŭigo derivaĵo:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

Kaj anstataŭiganta tiujn esprimojn en la originala ekvacio:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Vi povas vidi, ke en la maldekstra flanko de la du terminoj estas reduktitaj. Se iu ekzemplo kiu ne okazis, tiam vi faris ion malbonan. Ni daŭrigos:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Nun ni solvos la kutima ekvacio en kiu vi volas apartigi la variabloj:

dv / dx = x ^{2 /} kaj ^{x 2/2;}

dv = x ² * e ^{- x 2/2} dx.

Forigi la integralo, ni devas apliki la poparta integralado tie. Tamen, ĉi tiu ne estas la temo de tiu artikolo. Se vi estas interesita, Vi povas lerni mem efektivigi tiajn agojn. Ne estas malfacile, kaj kun sufiĉe da lerteco kaj prizorgo ne estas tempo konsumanta.

Aludante la dua metodo la solvo de la _inhomogeneous_ ekvacioj: Bernoulli metodo. Kio alproksimiĝo estas pli rapida kaj pli facila - ĝi dependas de vi.

Do, kiam solvi tiun metodon, ni devas fari la anstataŭigo: y = k * n. Ĉi tie, k kaj n - iuj funkcioj depende de x. Tiam la derivaĵo aspektos kiel: y '= k' * n + k * n '. Anstataŭaĵo du anstataŭojn en la ekvacio:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Grupo supren:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Nun oni devas egaligi al nulo, tio estas en krampoj. Nun, se vi kombini la du rezultanta ekvacioj, ni akiras sistemo de unua ordo diferencialaj ekvacioj por esti solvita:

n '+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

La unua egaleco decidi kiel la kutima ekvacio. Por fari tion, vi devas apartigi la variabloj:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Ni prenu la integralo kaj ni akiras: ln (n) = x ^2/2. Tiam, se ni esprimas n:

n = e ^{x 2/2.}

Nun anstataŭigos la rezultanta ekvacio en la dua ekvacio:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Kaj transformi, rezultiĝas la sama ekvacio kiel en la unua metodo:

dk = x ^{2 /} kaj ^{x 2/2.}

Ni ankaŭ ne diskutos plu ago. Oni diras, ke unue la unua ordo diferencialaj ekvacioj solvo kaŭzas konsiderindan malfacilaĵoj. Tamen, pli profunda mergo en la temo estas komencanta akiri pli bone kaj pli bone.

Kie diferencialaj ekvacioj?

Tre aktiva diferencialaj ekvacioj uzitaj en fiziko, kiel preskaŭ ĉiuj bazaj leĝoj estas skribitaj en diferenciala formo, kaj tiuj formuloj, ke ni vidu - solvon por tiuj ekvacioj. En kemio, estas uzitaj por la sama kialo: la bazaj leĝoj estas derivitaj tra ili. En biologio, la diferencialaj ekvacioj estas uzitaj por modeligi la konduton de sistemoj, kiel ekzemple predanto - predo. Ili povas ankaŭ esti uzita por krei modelojn de reprodukto, ekzemple, kolonioj de mikroorganismoj.

Kiel diferencialaj ekvacioj helpi en la vivo?

La respondo al tiu demando estas simpla: nenio. Se vi ne estas sciencisto aŭ inĝeniero, estas neverŝajne ke ili estos utila. Tamen, ne doloras scii kio la diferenciala ekvacio kaj solvas por la entuta evoluo. Kaj tiam la demando de filo aŭ filino, "kion diferenciala ekvacio?" ne metas vin en sakstrato. Nu, se vi estas sciencisto aŭ inĝeniero, tiam vi scias la gravecon de ĉi tiu temo en iu ajn scienco. Sed plej grave, ke nun al la demando "kiel solvi la diferenciala ekvacio de unua ordo?" vi ĉiam povos respondi. Konsentas, estas ĉiam bela kiam vi konscias ke tio, kion homoj estas eĉ timis eltrovi.

La ĉefaj problemoj en la studo

La ĉefa problemo en la kompreno de tiu ĉi temo estas malbona kutimo de integriĝo kaj diferenciación funkcioj. Se vi estas malkomforta alpreni derivaĵoj kaj integraloj, estas verŝajne valoras pli lerni, lerni malsamajn metodojn de integriĝo kaj diferenciación, kaj nur tiam procedi al la studo de la materialo kiu estis priskribita en la artikolo.

Iuj personoj estas surprizita por lerni ke dx eblas transferido, kiel antaŭe (en lernejo) argumentis ke la frakcio dy / dx estas nedividebla. Tiam vi devas legi la literaturon sur la derivaĵo kaj kompreno estas la sinteno de senfine malgrandaj kvantoj, kiu povas esti manipulita por solvi ekvacioj.

Multaj homoj ne tuj rimarkas, ke la solvo de diferencialaj ekvacioj de la unua ordo - tio estas ofte funkcio aŭ neberuschiysya integralo, kaj ĉi iluzio donas al ili multajn problemojn.

Kion alian oni povas studi pli bone komprenas?

Estas plej bone komenci pli mergo en la mondo de diferenciala kalkulo de specialecaj lernolibroj, ekzemple, en analitiko por studentoj de ne-matematikaj fakoj. Vi povas movi al la pli specialigita literaturo.

Oni diras, ke, aldone al la diferencialaj, ekzistas ankoraŭ integralaj ekvacioj, do vi ĉiam havas ion por strebi al kaj kion studi.

konkludo

Ni esperas, ke post legi ĉi artikolo vi havas ideon de kion la diferencialaj ekvacioj kaj kiel solvi ilin ĝuste.

Ĉiukaze, matematiko iel utila al ni en la vivo. Ĝi disvolvas logiko kaj atento, sen kiuj cxiu, kiel sen manoj.