Derivaĵoj nombroj: kalkulanta metodoj kaj ekzemploj

Eble la koncepto de derivaĵo estas konata al ni ĉiuj de la malĉefa. Kutime lernantoj havas malfacilaĵojn kompreni ĉi estas sendube tre grava afero. Ĝi estas aktive uzata en diversaj areoj de popola vivo, kaj multaj inĝenieristiko estis bazitaj precize sur matematikaj ŝtonoj akiritaj de la derivaĵo. Sed antaŭ ol vi antaŭeniru al analizo de kio estas derivita de nombroj kiel ili kalkulas kaj kie ili eniros oportunan, enprofundiĝi iom en la historio.

rakonto

La koncepto de derivaĵo, kiu estas la bazo de analitiko, estis malfermita (eĉ pli bone diri "inventita" ĉar ĝi estas, kiel tiaj, ne ekzistas en la naturo) Isaakom Nyutonom, kiu ĉiuj scias de la malkovro de la leĝo de gravito. Estis li kiu unue utiligis tiun koncepton en fiziko por la deviga naturo de la rapido kaj aceleración de korpoj. Kaj multaj sciencistoj ankoraŭ laŭdas Neŭtono por tiu grandioza invento, ĉar fakte elpensis la bazon de diferencialo kaj integrala kalkulo, la fakta bazo de la tuta kampo de matematiko nomita "matematika analizo". Ĉu tiutempe la Nobel-premion, Neŭtono probable estus ricevis ĝin kelkajn fojojn.

Ne sen aliaj grandaj mensoj. Krom Neŭtono en la evoluo de derivaĵo kaj integralo laboris tiaj eminentaj geniuloj de matematiko kiel Leonhard Euler, Lagrange kaj Louis Gotfrid Leybnits. Estas danke al ili havas la teorio de diferencialaj kalkulo en la formo en kiu ĝi ekzistas ĝis hodiaŭ. Por iu, ĉi tiu estas Leibniz malkovris la geometria signifo de la derivaĵo, kiu estas nenio pli ol la deklivo de la tanĝanto al la grafikaĵo de la funkcio.

Kio estas derivita de nombroj? Iom ripetu kion okazis en la lernejo.

Kio estas derivita?

Difini tiun koncepton en pluraj malsamaj manieroj. La plej simpla klarigo: Derivaĵoj - ĝi estas la indico de ŝanĝo funkcio. Reprezenti la grafikaĵo de ajna funkcio y de x. Se ĝi ne estas rekte, ĝi havas iujn kurbojn en la grafikaĵo, la periodoj de kresko kaj malkresko. Se vi prenas neniun infinitezima intervalo de la horaro, ĝi estos rekta streko. Do, la rilatumo de la grandeco de infinitezima segmento de la y al la grandeco de la x koordinato, kaj estos derivita de la funkcio je donita punkto. Se ni konsideras la funkcion kiel tuto, kaj ne je specifa punkto, ni akiras funkcion de la derivaĵo, tio certa dependeco de la X kaj.

Krome, aparte de la fizika signifo de la derivaĵo kiel funkcio de la indico de ŝanĝo, estas ankaŭ geometria senco. Sur ĝi, ni nun diskuti.

La geometria signifo

Derivaĵoj nombroj mem estas certa nombro kiu ne estas taŭga kompreno ne portas iun ajn signifon. Ĝi rezultas ke la derivaĵo estas ne nur montras la kreskorapideco aŭ malpliigi la funkcio, kaj la deklivo de la tanĝanto al la grafikaĵo de la funkcio je tiu punkto. Ne tute klara difino. Ni rigardu ĝin en detalo. Supozi ni havi Grafikaĵo (preni intereson kurbo). Ĝi havas malfinia nombro de punktoj, sed ekzistas areoj kie nur ununura punkto havas maksimumon aŭ minimumon. Tra tia punkto, Vi povas desegni rektan linion, kiu estus perpendikulara al la grafikaĵo de la funkcio je tiu punkto. Tiu linio estas nomata tangento. Supozu ni tenis ĝin ĝis la intersekco kun la akso OX. Do akiris inter la tangento kaj la akso OX kaj angulo estos determinita de la derivaĵo. Pli specife, la tangento de ĉi angulo estos egala al ĝi.

Ni parolu iomete pri la apartaj kazoj kaj derivitaj Ni rigardu la nombroj.

Specialaj kazoj

Kiel ni jam menciis, derivitaj de nombroj - derivita valoro je aparta punkto. Ĉi tie, ekzemple, preni la funkcio y = x ^2. La derivaĵo de x - nombroj, sed ĝenerale - a funkcio egalas 2 * x. Se ni devas kalkuli la derivaĵon, ekzemple, je la punkto x ₀ = 1, ni akiras y '(1) = 2 * 1 = 2. Ĝi estas tre simpla. Interesa kazo estas la derivaĵo de la kompleksa nombro. Iri en detalan eksplikon de kio kompleksa nombro, oni ne volas. Sufiĉas diri, ke tiu nombro, kiu enhavas la tiel nomata imaginara unuo - la nombro kies kvadrato egalas -1. La ŝtono de ĉi tiu derivaĵo estas nur ebla sub la jenaj kondiĉoj:

1) Devas esti la unua celo partaj derivaĵoj de la realaj kaj imaginaraj partoj de y kaj X.

2) la kondiĉoj de la Koŝio-Rimanaj asociita kun egaleco parta priskribis en la unua alineo.

Alia interesa kazo, kvankam ne tiel komplikita kiel la antaŭa, estas derivita de negativa nombro. Fakte, ajna negativaj nombroj povas esti prezentita kiel pozitivaj, multiplikita per -1. Nu, la derivaĵo kaj la konstanta funkcio egalas konstanta multiplikita de la derivaĵo de la funkcio.

Estos interese lerni pri la rolo de derivitaj en lia ĉiutaga vivo, kaj tio ĉi estas nun kaj diskuti ĝin.

aplikaĵo

Probable ĉiu el ni almenaŭ unufoje en vivdaŭro kaptas min mem pensante, ke matematiko estas neverŝajna esti utila al li. Kaj tia komplika afero kiel la derivaĵo probable havas neniun uzon. Fakte, la matematiko - fundamenta scienco, kaj ĉiuj ĝiaj fruktoj evoluas ĉefe fiziko, kemio, astronomio kaj eĉ la ekonomio. Derivaĵoj markis la komencon de matematika analizo, kiu donis al ni la ŝancon eltiri konkludojn de la grafikaĵoj de funkcioj, kaj ni lernis interpreti la leĝojn de la naturo kaj turni ilin al ilia avantaĝo pro tio.

konkludo

Kompreneble, ne ĉiuj povas esti utila al la derivaĵo en reala vivo. Sed matematiko evoluas logiko kiu verŝajne bezonas. Ne por nenio ĉar matematiko nomiĝas la reĝino de sciencoj: ĝi konsistas el baza kompreno de aliaj kampoj de scio.